Rナギの数学日記

ゆまるの数学日記

元通信制高校生の数学ノート

無理数の無理数乗について

実数

無理数の無理数乗は無理数かという問題は非常に面白いです．詳細については，tsujimotterさんのブログ
tsujimotter.hatenablog.com
にて詳しく解説されています．


この記事では無理数の無理数乗に関する入試問題を見ていきます．

問題

(1) \log_{3}4 は無理数であることを証明せよ．

(2) a, b は無理数で， a^b が有理数であるような数の組 a, b を一組求めよ．

('61 大阪大学理系)

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君は本当にロピタルの定理を知っているか？

解析学 ロピタルの定理

ギヨーム・ド・ロピタル (Guillaume de l'Hôpital) は17世紀後半のフランスの数学者です。
次の定理は、ロピタルが、1696年に出版した自身の微積分の教科書 "Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes" に載せたものです*1。

定理 (L'Hôpital's rule):

\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f(x) }{ g(x) } が不定形 \displaystyle \frac{0}{0}、 \displaystyle \frac{\infty}{\infty}、 \displaystyle - \frac{\infty}{\infty} のいずれかになるとき、 \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f'(x) }{ g'(x) } = \alpha ならば、 \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f(x) }{ g(x) } = \alpha である。このとき a, \alpha は実数または \infty, - \infty である。

*1:実際にこの定理を証明したのは Johann Bernoulli (ヨハンベルヌーイ) であることが知られている。当時ベルヌーイは金銭を受け取る代わりに、ロピタルだけに自分の証明した定理を教えていたそうだ。

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