Rナギの数学日記

ゆまるの数学日記

元通信制高校生の数学ノート

eが無理数であることの証明【1997年阪大理系後期】

直接問題文には登場しませんが, e (勿論自然対数の底)が無理数であることが,この問題の背景となっている事実だと思います.

問題: 自然数  n に対して関数  f_n(x) = x^n e^{1-x} とその定積分  \displaystyle a_n = \int_0^1 f_n(x) dx を考える.次の問いに答えよ.

(1)区間  0 \leq x \leq 1 上で  0 \leq f_n(x) \leq 1 であることを示し,さらに  0 < a_n < 1 が成り立つことを示せ.

(2) a_1 を求めよ. n > 1 に対して  a_n a_{n-1} の間の漸化式を求めよ.

(3)自然数  n に対して等式  \displaystyle \frac{a_n}{n!} = e - \left( 1 + \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \cdots + \frac{1}{n!} \right) が成り立つことを証明せよ.

(4)いかなる自然数  n に対しても, n! e は整数とならないことを示せ.

(1997年大阪大学理系後期)


さほど難しくない(正解したい)問題ですので,20分を目安に解答してみてください.また, e無理数であることも併せて証明しましょう.以下,簡単に解答を紹介します.

略解

(1) 0 < x < 1 f_n'(x) > 0 なので, f_n(0) = 0,\, f_n(1) = 1 より  0 \leq f_n(x) \leq 1 である.また,等式は常には成り立たないから, 0 < a_n < 1

(2)部分積分法より  a_1 = e- 2,\, a_n = n a_{n-1} - 1

(3)(2)の式を  n! で割ると, \displaystyle \frac{a_n}{n!} - \frac{a_{n-1}}{(n-1)!} = - \frac{1}{n!}.両辺  n = 2, 3, \cdots , m で足し合わせて,題意の式を得る( n = 1 でも成り立つ).

(4)(3)の式を  n! 倍した式と  0 < a_n < 1 より明らかである.

さて,ここで  e有理数であると仮定をすると, e > 0 より,とある互いに素な自然数  n, m が存在し, \displaystyle e = \frac{m}{n} と書けますが, n!e が整数となり矛盾します.よって  e無理数であることが証明されました.


また,本題とは離れますが,(3)の式で  n \to \infty の極限をとると,

 \displaystyle e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \cdots \cdots
が得られます.