無理数の無理数乗について - ゆまるの数学日記

無理数の無理数乗は無理数かという問題は非常に面白いです．詳細については，tsujimotterさんのブログ
tsujimotter.hatenablog.com
にて詳しく解説されています．

この記事では無理数の無理数乗に関する入試問題を見ていきます．

問題

(1) $\log_{3}4$ は無理数であることを証明せよ．

(2) $a, b$ は無理数で， $a^b$ が有理数であるような数の組 $a, b$ を一組求めよ．

('61 大阪大学理系)

(1)は基本問題なので解答は割愛します．(2)の解答はもちろん(1)を使います．

(2)の解答

$a = \sqrt{3}, b = \log_{3} 4$ とおくと， $a^b = \sqrt{3}^{\log_{3}4} = 3^{\frac{1}{2}\log_{3}2^2} = 2$

したがって， $(a, b) = (\sqrt{3}, \log_{3} 4)$

終わりに

高校生に「無理数の無理数乗は無理数か」と問うたらおそらく「そうだろう」と答えるであろう．そして「 $\sqrt{3}^{\log_{3}4}$ を計算してごらん」と言うと，皆にやにやしながらペンを走らせることであろう．このように，数学では些か人間の感覚では理解できないことが，平然として起こるのである．もちろん，それこそが数学の面白さであることは語るまでもない．