相加平均≧相乗平均≧調和平均の図形的証明
2変数の場合です。
「相加平均≧相乗平均」の円を使った証明はよく知られています。例えば、
を参照されたいです。
さて、楕円を持ち出すことで「相加平均≧相乗平均≧調和平均」が図形的に証明できることを、先日偶然発見しました。
ここで
算術平均(相加平均):
幾何平均(相乗平均):
調和平均:
となります。証明は、読者の演習問題とします。
【随時更新】三角関数の値の明示的表示 - Exact Trig Values
I avoid nested radicals as long as possible. But some values can be expressed simpler by using triple-nested radical, e.g.,
NOTICE that these values aren't necessarily true since I couldn't confirm if all of them are correct. If you find some errors, let me know in the comments down below.
三角関数の和公式と積分を使ってバーゼル問題を解決する
高校数学に収まるバーゼル問題の証明はいくつかの方法が知られていますが,今回は三角関数と積分を武器に証明しようと思います.
Lemma 2. を正整数とする.このとき,
Proof(Lemma 2)
Lemma 1の式で両辺 として足し合わせる.左辺は各自確かめよ.右辺は,
Theorem(Basel problem)
Proof(Theorem)
Lemma 2の式を として, を求める.まず左辺を計算する.
右辺は,
ここで は に依らない定数.
(2020/02/15 追記: 上記に論理の飛躍があります.そのうち修正します.)
両辺 で割って とすることにより,Theorem(Basel problem)(同値な言いかえ)
これは読者に任せてよいだろう.