Rナギの数学日記

Rナギの数学日記

通信制高校生の数学ノート

eが無理数であることの証明【1997年阪大理系後期】

直接問題文には登場しませんが, e (勿論自然対数の底)が無理数であることが,この問題の背景となっている事実だと思います.

問題: 自然数  n に対して関数  f_n(x) = x^n e^{1-x} とその定積分  \displaystyle a_n = \int_0^1 f_n(x) dx を考える.次の問いに答えよ.

(1)区間  0 \leq x \leq 1 上で  0 \leq f_n(x) \leq 1 であることを示し,さらに  0 < a_n < 1 が成り立つことを示せ.

(2) a_1 を求めよ. n > 1 に対して  a_n a_{n-1} の間の漸化式を求めよ.

(3)自然数  n に対して等式  \displaystyle \frac{a_n}{n!} = e - \left( 1 + \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \cdots + \frac{1}{n!} \right) が成り立つことを証明せよ.

(4)いかなる自然数  n に対しても, n! e は整数とならないことを示せ.

(1997年阪神大学理系後期)


さほど難しくない(正解したい)問題ですので,20分を目安に解答してみてください.また, e無理数であることも併せて証明しましょう.以下,簡単に解答を紹介します.

略解

(1) 0 < x < 1 f_n'(x) > 0 なので, f_n(0) = 0,\, f_n(1) = 1 より  0 \leq f_n(x) \leq 1 である.また,等式は常には成り立たないから, 0 < a_n < 1

(2)部分積分法より  a_1 = e- 2,\, a_n = n a_{n-1} - 1

(3)(2)の式を  n! で割ると, \displaystyle \frac{a_n}{n!} - \frac{a_{n-1}}{(n-1)!} = - \frac{1}{n!}.両辺  n = 2, 3, \cdots , m で足し合わせて,題意の式を得る( n = 1 でも成り立つ).

(4)(3)の式を  n! 倍した式と  0 < a_n < 1 より明らかである.

さて,ここで  e有理数であると仮定をすると, e > 0 より,とある互いに素な自然数  n, m が存在し, \displaystyle e = \frac{m}{n} と書けますが, n!e が整数となり矛盾します.よって  e無理数であることが証明されました.


また,本題とは離れますが,(3)の式で  n \to \infty の極限をとると,

 \displaystyle e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \cdots \cdots
が得られます.

大学入試問題研究2018~整数~

2018年難関大学入試の整数問題を集めました.

解答解説は随時更新します.

問題: 正の整数  n の各位の数の和を  S(n) で表す.たとえば

 S(3) = 3,\ S(10) = 1 + 0 = 1,\ S(516) = 5 + 1 + 6 = 12

である.

(1) n \geq 10000 のとき,不等式  n > 30 S(n) + 2018 を示せ.

(2) n = 30 S(n) + 2018 を満たす  n を求めよ.

(18 一橋大学前期 第1問)

問題: 整数  a,\ b は等式

 3^a - 2^b = 1 \tag{1}

を満たしているとする.

(1) a,\ b はともに正となることを示せ.

(2) b > 1 ならば, a は偶数であることを示せ.

(3)上式(1)を満たす整数の組  (a,\ b) をすべてあげよ.

(18 東北大学理系前期 第3問)

問題: 数字の  2 が書かれたカードが  2 枚,同様に,数字の [0,\ 1,\ 8] が書かれたカードがそれぞれ  2 枚,あわせて  8 枚のカードがある.これらから  4 枚を取り出し,横一列に並べてできる自然数 n とする.ただし, 0 のカードが左から  1 枚またな  2 枚現れる場合は, n 3 桁または  2 桁の自然数とそれぞれ考える.例えば,左から順に  0,\ 0,\ 1,\ 1 の数字のカードが並ぶ場合の  n 11 である.

(1) a,\ b,\ c,\ d は整数とする. 1000a + 100b + 10c + d 9 の倍数になることと  a + b + c + d 9 の倍数になることは同値であることを示せ.

(2) n 9 の倍数である確率を求めよ.

(3) n が偶数であったとき, n 9 の倍数である確率を求めよ.

(18 北海道大学理系前期 第3問)

問題: 数列  a_1,\ a_2,\ ,\ \cdots \cdots \displaystyle a_n = \frac{{}_{2n+1} \mathrm{C}_n}{n!}\ (n = 1,\ 2,\ \cdots \cdots) で定める.

(1) n \geq 2 とする. \displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}} を既約分数  \displaystyle \frac{q_n}{p_n} として表したときの分母  p_n \geq 1 と分子  q_n を求めよ.

(2) a_n が整数となる  n \geq 1 をすべて求めよ.

(18 東京大学理科 第2問)

ウォリス積分を制覇する【高校数学】

ウォリス積分といえば,毎年どこかの大学入試で出題される,数学Ⅲの超頻出問題です.この記事では次の定積分をウォリス積分とします.

 \displaystyle I_n := \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^nx dx

ただし nは非負整数です.問題によれば, \sin^n x \cos^n x となっていたり(問題1で示すように正弦と余弦 I_n の値は同じです), n が正整数だったり,指数がずれていたりしますが,問題の解き方になんら変わりはありません.

ウォリス積分関連の問題は,慣れていないと難しいところがあるかもしれません.しかし逆に言えば出題されるような問題は限られていますので,解答の導出方法を覚えてしまえば非常に簡単な部類の問題に成り下がります.

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シグマ公式の証明

 \displaystyle \sum_{k=1}^n k^s の公式(以下、シグマ公式)の証明をできるだけ多く紹介しようと思います。

公式( s = 1)

 \displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}

公式( s = 2)

 \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

公式( s = 3)

 \displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{2}

公式( s = 4)

 \displaystyle \sum_{k=1}^n k^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}

公式( s = 5)

 \displaystyle \sum_{k=1}^n k^5 = \frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}

実はシグマ公式は、関-Bernoulli数を用いて一般化することができます。詳しくはこの記事の最後の参考記事〔1〕をご確認ください。

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指を叩き合って相手の指を5にするあのゲームの攻略法

たまには数学以外の話題も書こうと思います。

先日、友人とひょんな流れであの「指を叩き合って相手の指を5にするゲーム*1」をしました。私自身このゲームをするのは3年ぶりくらいでしたが、過去に凄まじくやりこんでいたので、やっぱり脳が覚えてるもんなんですね。やっているうちに決まり手が次々と思い出されました。そこで今日は、津津浦浦の「指を叩き合っ(略」で友達に勝ちまくりたい!という少年少女に向けて、このゲームの決まり手(この状況になれば、うまいことやれば必ず自分が勝つという状況のこと。)達を3つ紹介しようと思います(実際このゲームが強い人は決まり手を覚えている人です。)。

*1:説明不要のあのゲーム。各地方(学校?)で様々な呼び名があると思います。

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