Rナギの数学日記

通信制高校生の数学ノート

シグマ公式の証明

 \displaystyle \sum_{k=1}^n k^s の公式(以下、シグマ公式)の証明をできるだけ多く紹介しようと思います。

公式( s = 1)

 \displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}

公式( s = 2)

 \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

公式( s = 3)

 \displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{2}

公式( s = 4)

 \displaystyle \sum_{k=1}^n k^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}

公式( s = 5)

 \displaystyle \sum_{k=1}^n k^5 = \frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}

実はシグマ公式は、関-Bernoulli数を用いて一般化することができます。詳しくはこの記事の最後の参考記事〔1〕をご確認ください。

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Green-Taoの定理の無駄遣い

Green-Tao Theorem(2004)

There are arbitrarily long arithmetic progressions of prime numbers.

今日は整数論における大定理であるGreen-Taoの定理を使って素数の無限性を証明しようと思います(ネタ。循環論法なんて知らない。)。

Euclid's Theorem(≈300 BCE)

There are infinitely many prime numbers.

実に2300年の時を経て再びこの定理が証明されます。

Proof(Rナギ)

Suppose, for sake of contradiction, that there were only finitely many prime numbers (Let the number of prime numbers be  n.). But there is an arithmetic progression of prime numbers of length  (n+1) on account of Green-Tao theorem. Hence there are infinity many prime numbers. Q.E.D.

指を叩き合って相手の指を5にするあのゲームの攻略法

たまには数学以外の話題も書こうと思います。

先日、友人とひょんな流れであの「指を叩き合って相手の指を5にするゲーム*1」をしました。私自身このゲームをするのは3年ぶりくらいでしたが、過去に凄まじくやりこんでいたので、やっぱり脳が覚えてるもんなんですね。やっているうちに決まり手が次々と思い出されました。そこで今日は、津津浦浦の「指を叩き合っ(略」で友達に勝ちまくりたい!という少年少女に向けて、このゲームの決まり手(この状況になれば、うまいことやれば必ず自分が勝つという状況のこと。)達を3つ紹介しようと思います(実際このゲームが強い人は決まり手を覚えている人です。)。

*1:説明不要のあのゲーム。各地方(学校?)で様々な呼び名があると思います。

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Legendreの公式

Legendreの公式(Legendreの定理)*1は,数論の基本的な公式(定理)です.チェビシェフの定理( n 2nの間に素数が存在する)などの証明でも登場するような公式ですので,高校生でも覚えておくといろいろ得をすると思われます.

Legendreの公式

自然数  n に対して,  n に含まれる素因数  p の個数( n素因数分解したときの  p の累乗指数)を  \mathrm{ord}_p(n) とすれば,

 \displaystyle \mathrm{ord}_p(n!) = \sum_{i=1}^{\infty} \left[ \frac{n}{p^i} \right] = \sum_{i=1}^{[\log_{p}n]} \left[ \frac{n}{p^i} \right]

が成り立つ.ここで  [ x ] x を超えない最大の整数を表すものとする.

*1:「Polignacの公式」としても知られているが,Legendreの方が先にこの公式を得ていたとされている.

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