三角関数の和公式と積分を使ってバーゼル問題を解決する

高校数学に収まるバーゼル問題の証明はいくつかの方法が知られていますが，今回は三角関数と積分を武器に証明しようと思います．

Lemma 1.*1 $n$ を非負整数とする．このとき，*2

$\displaystyle 1 + 2 \sum_{k=1}^n \cos kx = \frac{\sin \left( n + \frac{1}{2} \right)x}{\sin \frac{x}{2}}.$

Proof(Lemma 1)

$n =0$ のときは明らか．和積公式より，

$\displaystyle \begin{align} & \frac{\sin \left( n + \frac{3}{2} \right)x}{\sin \frac{x}{2}} - \frac{\sin \left( n + \frac{1}{2} \right)x}{\sin \frac{x}{2}} \\ &= \frac{2 \cos (n + 1)x \sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = 2 \cos (n + 1)x \end{align}$

が成り立つから，数学的帰納法により示された．

Lemma 2. $N$ を正整数とする．このとき，

$\displaystyle N + 2 \sum_{k=1}^N (N-k) \cos kx = \frac{\sin^2 \frac{Nx}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2}}.$

Proof(Lemma 2)

Lemma 1の式で両辺 $n = 0 , \cdots, N -1$ として足し合わせる．左辺は各自確かめよ．右辺は，

$\displaystyle \begin{align} & \sum_{n=0}^{N-1} \frac{\sin \left( n + \frac{1}{2} \right)x}{\sin \frac{x}{2}} = \sum_{n=0}^{N-1} \frac{\sin \left( n + \frac{1}{2} \right)x \sin \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2}} \\ &= \sum_{n=0}^{N-1} \frac{-\frac{1}{2} \left(\cos (n+1)x - \cos nx \right)}{\sin^2 \frac{x}{2}} \\ &= \frac{\frac{1}{2}\left( 1 - \cos Nx \right)}{\sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{\sin^2 \frac{Nx}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2}} \end{align}$

Theorem(Basel problem)

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}.$

Proof(Theorem)

Lemma 2の式を $f(x)$ として， $\displaystyle \int_0^\pi x f(x) \mathrm{d}x$ を求める．まず左辺を計算する．

$\displaystyle \begin{align} & \int_0^\pi \left( Nx + 2 \sum_{k=1}^N (N-k) x \cos kx \right) \mathrm{d}x \\ &= \int_0^\pi Nx \mathrm{d}x + 2 \sum_{k=1}^N (N-k) \int_0^\pi x \cos kx \mathrm{d}x \\ &= N \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^\pi + 2 \sum_{k=1}^N (N-k) \left[ x \frac{\sin kx}{k} - \left( \frac{- \cos kx}{k^2} \right) \right]_0^\pi \\ &= \frac{\pi^2}{2} N + 2N \sum_{k=1}^N \frac{(-1)^k -1}{k^2} -2 \sum_{k=1}^N \frac{(-1)^k -1}{k} \end{align}$

右辺は，

$\displaystyle \begin{align} \int_0^\pi x \frac{\sin^2 \frac{Nx}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2}} \mathrm{d}x \leq \int_0^\pi \frac{x}{\sin^2 \frac{x}{2}} \mathrm{d}x = A \end{align}$

~~ここで $A$ は $N$ に依らない定数．~~