I avoid nested radicals as long as possible. But some values can be expressed simpler by using triple-nested radical, e.g., NOTICE that these values aren't necessarily true since I couldn't confirm if all of them are correct. If you find s…

高校数学に収まるバーゼル問題の証明はいくつかの方法が知られていますが，今回は三角関数と積分を武器に証明しようと思います． Lemma 1.*1 を非負整数とする．このとき，*2 Proof(Lemma 1) のときは明らか．和積公式より， が成り立つから，数学的帰納法に…

を算術平均(相加平均)と言うのでした．また高校数学では出てこないと思いますが，を調和平均と言います．少し書き方を変えれば調和平均は，と表せます．ともすれば次のような関数が自然と定義できるはずです(お風呂で頭洗っているときに考えた)． Def. 一般…

受験生なので手抜きです． 放物線 上を点 が動く．放物線 の点 における法線上に点 と を，点 からの距離がともに となるようにとる．ただし，点 は不等式 の表す領域に含まれるようにとり，点 は不等式 の表す領域に含まれるようにとる． （１）省略 （２）…

とても美しい定理です． 定理(Fermatの二平方定理)． を奇素数としたとき，がつの平方数の和で表せることの必要十分条件は，をで割った余りがになること*1である． この定理に対して，20世紀後半にすんばらしい証明がZagierによって与えられました(いわゆるZ…

今日，twitterで以下の等式を見つけた． 元ツイートには割と自明な等式と書かれており，自明な等式に思えなかった私は自分を恥じた．最初，メルカトル級数と関係あるのか？？と思い路頭に迷っていたが，10分ほどして割とあっさりと証明を与えられた（やった…

Theorem(Euclid). There are infinitely many prime numbers. 人類たるもの知っておくべき事実でしょう。この記事では、上の定理の証明を高校数学の範囲内*1で、できるだけ多く紹介しようと思います。素数の無限性の証明は、大きく次の2つに分けられます。 …

昨年度（2019年）のセンター英語リスニング第一問に戸惑った受験生も少なくなかっただろう．今後の大学入試では，試験中に想定外のことが起きても，冷静に問題と向き合い解答する力を求めてくるかもしれない（知らんけど）．次の問題は，1995年の京都大学文…

直接問題文には登場しませんが， (勿論自然対数の底)が無理数であることが，この問題の背景となっている事実だと思います． 問題: 自然数 に対して関数 とその定積分 を考える．次の問いに答えよ． （１）区間 上で であることを示し，さらに が成り立つこと…

2018年難関大学入試の整数問題を集めました．解答解説は随時更新します． 問題: 正の整数 の各位の数の和を で表す．たとえば である． （１） のとき，不等式 を示せ． （２） を満たす を求めよ． （18 一橋大学前期 第1問） 問題: 整数 は等式 を満たして…

ウォリス積分といえば，毎年どこかの大学入試で出題される，数学Ⅲの超頻出問題です．この記事では次の定積分をウォリス積分とします．ただしは非負整数です．問題によれば， が となっていたり（問題１で示すように正弦と余弦で の値は同じです）， が正整数…