lim sinx/x = 1 を用いない三角関数の微分公式の証明

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin x = \cos x$

微分の定義通りにこの公式を証明しようと思えば， $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ という極限を使うことになると思うが，これを用いなくても三角関数の微分はできるので紹介する．

証明

三角関数の定義を思い出す．

定義（三角関数）

偏角 $\theta$ の単位円周上の点の $x$ 座標を $\cos \theta$ ， $y$ 座標を $\sin \theta$ と定義する．

また定義より

$\begin{align} \sin (\theta + \pi) &= - \sin \theta \\ \sin(- \theta) &= \sin \theta \end{align}$

が成り立つ．よって $[0, \pi/2]$ 上で上記の微分公式を示せれば，これは実数全体に拡張される．

単位円周の第一象限によって切り取られた部分は，次にように媒介変数表示される(各自確かめよ)．

$\left\{ \begin{aligned} x &= \sqrt{1-t^2} \\ y &= t \end{aligned} \right. \ \ \ (0 \leq t \leq 1)$

従って，ラジアンの定義と曲線の長さの公式より，次の式が成り立つ．

$\displaystyle x = \int_0^{\sin x}\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2}\mathrm{d}t = \int_0^{\sin x} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t \ \ \ (0 \leq x \leq \frac{\pi}{2})$

よって， $\sin x \ (0 \leq x \leq \pi/2)$ は

$\displaystyle f(x) = \int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t \ \ \ (0 \leq x \leq 1)$

の逆関数である．ゆえに，微分積分学の基本定理と逆関数の微分法により，

$\displaystyle (\sin x)' = \frac{1}{f'(\sin x)} = \sqrt{1-(\sin x)^2} = \cos x.$

Q.E.D.

ゆまるの数学日記

元通信制高校生の数学ノート

lim sinx/x = 1 を用いない三角関数の微分公式の証明