フェルマーの二平方定理の一文証明の解説

とても美しい定理です．

定理(Fermatの二平方定理)． $p$ を奇素数としたとき， $p$ が $2$ つの平方数の和で表せることの必要十分条件は， $p$ を $4$ で割った余りが $1$ になること*1である．

この定理に対して，20世紀後半にすんばらしい証明がZagierによって与えられました(いわゆるZagierの一文証明)．

証明(Zagier)
有限集合 $S:= \{(x, y, z) \in \mathbb{N}^3 : x^2 + 4yz = p\}$ ( $p$ は $p \equiv 1 \pmod 4$ を満たす奇素数) 上の対合(involution):

$\displaystyle \begin{eqnarray} \left( x, y, z \right) \rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} \left( x + 2z, z, y - x- z \right) \quad {\rm if} \ x < y - z \\ \left( 2y - x, y, x - y + z \right) \quad {\rm if} \ y - z < x < 2y \\ \left( x - 2y, x - y + z, y \right) \quad {\rm if} \ x > 2y \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

は一つの固定点(fixed point)を持つため， $|S|$ は奇数であり，対合 $(x, y, z) \rightarrow (x, z, y)$ も固定点を持つ．□

用語の解説をしましょう．

対合(involution)とは，2回施すと元に戻る写像(関数)のことです． $f(x) = 1 - x$ などがその例に当たります( $f(f(x)) = f^2(x) = x$ )．また，ヒトの集合を $H$ *2とするとき， $H$ 上で定義された「既婚者ならば配偶者を，未婚者ならそのヒト自身を返す」写像も対合になります．
固定点(fixed point，不動点)とは，写像によって自分自身が返される点のことです． $f(x) = 1 - x$ の例では $1 - x = x$ よ満たす値，すなわち $x = 1/2$ が固定点になり，ヒトの例では未婚者が固定点になります．
$|S|$ は，有限集合 $S$ の要素数を表します．高校数学的に書くと $n(S)$ です．

さて，この証明は一文で完結しており，見た目は非常に綺麗ですが，証明の詳細(行間)を汲み取るにはある程度の訓練が必要だと思います．この記事は，この一文証明をexpandして，複数のSTEPに分け解説し，証明の理解を促すものです．

証明の解説

STEP 1. 関数 $\alpha$ :

$\displaystyle \begin{eqnarray} \alpha : \left( x, y, z \right) \rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} \left( x + 2z, z, y - x- z \right) \quad {\rm if} \ x < y - z \\ \left( 2y - x, y, x - y + z \right) \quad {\rm if} \ y - z < x < 2y \\ \left( x - 2y, x - y + z, y \right) \quad {\rm if} \ x > 2y \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

が対合であることを確認する．

ここで， $\alpha$ の定義域に $x = y - z$ と $x = 2y$ の場合が含まれていないことが気になった人がいるかもしれない． $\alpha$ は $S$ 上で定義された関数であったから，上記の条件を満たす $S$ の要素
存在しないことを確認しよう．
$x = y - z$ のとき， $(y - z)^2 + 4yz = p \Leftrightarrow (y + z)^2 = p$ であるから，これを満たす自然数 $(y, z)$ は存在しない．
$x = 2y$ のとき， $(2y)^2 + 4yz = p \Leftrightarrow 4y(y + z) = p$ であるから，この場合も同じである．

次に，

$S_1 = \{ (x, y, z) \in S : x < y - z \},\\ S_2 = \{ (x, y, z) \in S : y - z < x < 2y \}, \\ S_3 = \{ (x, y, z) \in S : x > 2y \}$

とおく．

$S_3 = \alpha (S_1), \, S_2 = \alpha (S_2), \, S_1 = \alpha (S_3)$

であることが簡単に確認できるので，確かに $\alpha$ は対合である．

STEP 2. $\alpha$ が固定点を持つことを確認する．

STEP 1の最後より， $\alpha$ が固定点を持つならばそれは $S_2$ の要素である．このとき，

$\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} 2y - x = x \\ x - y + z = z \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y \end{eqnarray}$

であるから， $S$ の定義より $x^2 + 4xz = p \Leftrightarrow x(x + 4z) = p$ であり， $p$ が素数であることから， $(x, y, z) = (1, 1, \frac{p - 1}{4})$ が唯一の固定点となる( $p \equiv 1 \pmod 4$ より $\frac{p-1}{4} \in \mathbb{N}$ であることに注意する)．

STEP 3. $|S|$ が奇数であることを確認する．

$a \in S$ を STEP 2 で求めた固定点でないものとしたとき， $b = \alpha (a) (\neq a)$ を $a$ の相方と呼ぶ． $\alpha$ は対合であったから， $b$ の相方は $a$ であり $a$ と $b$ はコンビとみなすことができる．固定点以外の $S$ の要素はあるコンビに属しており，固定点は相方を持たないため， $|S|$ は奇数である．

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STEP 4. 対合 $\beta : (x, y, z) \rightarrow (x, z, y)$ が固定点を持つこと， $p$ が二つの平方数の和で表されることを確認する．

$|S|$ が奇数であるから， $\beta$ による $S$ のコンビ分けが如何なるものであっても，ぼっちとなる要素が一つは存在する*3．これが固定点となる．これを $(x_0, y_0, y_0)$ とすれば $S$ の定義より

$x_0^2 + 4y_0 y_0 = x_0^2 + (2y_0)^2 = p$

を満たすので， $p$ は二つの平方数の和で表される．□

~~STEP 5.~~ 必要十分(???)であることを確認する．

こんな記事を書いてて申し訳ないのですが，Zagierによる証明が「 $p \equiv 1 \pmod 4$ $\Rightarrow$ $p$ が二つの平方数の和で表される」と「 $p \equiv 1 \pmod 4$ $\Leftrightarrow$ $p$ が二つの平方数の和で表される」のどちらを意味するのかはっきり分かっていません．Zagierの論文を見た限り前者のような気がしますが*4...．判明次第更新します．ちなみに「 $p \equiv 1 \pmod 4$ $\Leftarrow$ $p$ が二つの平方数の和で表される」の証明は簡単です．