公式（三角関数の微分） 微分の定義通りにこの公式を証明しようと思えば， という極限を使うことになると思うが，これを用いなくても三角関数の微分はできるので紹介する．証明三角関数の定義を思い出す． 定義（三角関数） 偏角 の単位円周上の点の座標を …

2変数の場合です。「相加平均≧相乗平均」の円を使った証明はよく知られています。例えば、「相加相乗平均の関係」を視覚的に理解する！を参照されたいです。さて、楕円を持ち出すことで「相加平均≧相乗平均≧調和平均」が図形的に証明できることを、先日偶然…

いつかbotを作るときの問題たち． [1] 太陽を中心として地球が周期 の等速円運動をしている．時刻 に地球の速さを 倍すれば，地球は太陽を焦点として楕円運動をするようになる．このとき，地球が初めてこの楕円の短軸上の頂点に達した時の時刻を を用いて表…

I avoid nested radicals as long as possible. But some values can be expressed simpler by using triple-nested radical, e.g., NOTICE that these values aren't necessarily true since I couldn't confirm if all of them are correct. If you find s…

高校数学に収まるバーゼル問題の証明はいくつかの方法が知られていますが，今回は三角関数と積分を武器に証明しようと思います． Lemma 1.*1 を非負整数とする．このとき，*2 Proof(Lemma 1) のときは明らか．和積公式より， が成り立つから，数学的帰納法に…

を算術平均(相加平均)と言うのでした．また高校数学では出てこないと思いますが，を調和平均と言います．少し書き方を変えれば調和平均は，と表せます．ともすれば次のような関数が自然と定義できるはずです(お風呂で頭洗っているときに考えた)． Def. 一般…

受験生なので手抜きです． 放物線 上を点 が動く．放物線 の点 における法線上に点 と を，点 からの距離がともに となるようにとる．ただし，点 は不等式 の表す領域に含まれるようにとり，点 は不等式 の表す領域に含まれるようにとる． （１）省略 （２）…

とても美しい定理です． 定理(Fermatの二平方定理)． を奇素数としたとき，がつの平方数の和で表せることの必要十分条件は，をで割った余りがになること*1である． この定理に対して，20世紀後半にすんばらしい証明がZagierによって与えられました(いわゆるZ…

今日，twitterで以下の等式を見つけた． 元ツイートには割と自明な等式と書かれており，自明な等式に思えなかった私は自分を恥じた．最初，メルカトル級数と関係あるのか？？と思い路頭に迷っていたが，10分ほどして割とあっさりと証明を与えられた（やった…

Theorem(Euclid). There are infinitely many prime numbers. 人類たるもの知っておくべき事実でしょう。この記事では、上の定理の証明を高校数学の範囲内*1で、できるだけ多く紹介しようと思います。素数の無限性の証明は、大きく次の2つに分けられます。 …

昨年度（2019年）のセンター英語リスニング第一問に戸惑った受験生も少なくなかっただろう．今後の大学入試では，試験中に想定外のことが起きても，冷静に問題と向き合い解答する力を求めてくるかもしれない（知らんけど）．次の問題は，1995年の京都大学文…

直接問題文には登場しませんが， (勿論自然対数の底)が無理数であることが，この問題の背景となっている事実だと思います． 問題: 自然数 に対して関数 とその定積分 を考える．次の問いに答えよ． （１）区間 上で であることを示し，さらに が成り立つこと…

2018年難関大学入試の整数問題を集めました．解答解説は随時更新します． 問題: 正の整数 の各位の数の和を で表す．たとえば である． （１） のとき，不等式 を示せ． （２） を満たす を求めよ． （18 一橋大学前期 第1問） 問題: 整数 は等式 を満たして…

ウォリス積分といえば，毎年どこかの大学入試で出題される，数学Ⅲの超頻出問題です．この記事では次の定積分をウォリス積分とします．ただしは非負整数です．問題によれば， が となっていたり（問題１で示すように正弦と余弦で の値は同じです）， が正整数…

の公式（以下、シグマ公式）の証明をできるだけ多く紹介しようと思います。 公式() 公式() 公式() 公式() 公式() 実はシグマ公式は、関-Bernoulli数を用いて一般化することができます。詳しくはこの記事の最後の参考記事〔1〕をご確認ください。

たまには数学以外の話題も書こうと思います。先日、友人とひょんな流れであの「指を叩き合って相手の指を5にするゲーム*1」をしました。私自身このゲームをするのは3年ぶりくらいでしたが、過去に凄まじくやりこんでいたので、やっぱり脳が覚えてるもんなん…

Legendreの公式（Legendreの定理）*1は，数論の基本的な公式（定理）です．チェビシェフの定理（との間に素数が存在する）などの証明でも登場するような公式ですので，高校生でも覚えておくといろいろ得をすると思われます． Legendreの公式 自然数 に対して…

無理数の無理数乗は無理数かという問題は非常に面白いです．詳細については，tsujimotterさんのブログ tsujimotter.hatenablog.com にて詳しく解説されています． この記事では無理数の無理数乗に関する入試問題を見ていきます． 問題 (1) は無理数であるこ…

ギヨーム・ド・ロピタル (Guillaume de l'Hôpital) は17世紀後半のフランスの数学者です。 次の定理は、ロピタルが、1696年に出版した自身の微積分の教科書 "Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes" に載せたものです*1。 …

皆さんは区分求積法を知っているでしょうか。 定理(区分求積の公式)*1: を 上連続関数とする。 が成り立つ。 *1:区分求積の一般形 があるが、あまり使わないのでこの記事では扱わない。