一般化算術平均 - ゆまるの数学日記

$\displaystyle \frac{a + b}{2}$

を算術平均(相加平均)と言うのでした．また高校数学では出てこないと思いますが，

$\displaystyle \frac{1}{\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2}}$

を調和平均と言います．少し書き方を変えれば調和平均は，

$\displaystyle \left( \frac{a^{-1} + b^{-1}}{2} \right)^{-1}$

と表せます．ともすれば次のような関数が自然と定義できるはずです(お風呂で頭洗っているときに考えた)．

Def. 一般化算術平均

$\displaystyle \mu_r (s;{\boldsymbol{\omega}})=\left(\frac{|\boldsymbol{\omega}^s|}{\#{\boldsymbol{\omega}}}\right)^{1/s}.$

ここで， $|\boldsymbol{\omega}^s| = \omega_1^s + \cdots + \omega_r^s$ である．

NOTE

Def. 一般化平均

$\displaystyle M_r^f ({\boldsymbol{\omega}})=f^{-1}\left(\frac{|f\left(\boldsymbol{\omega}\right)|}{\#{\boldsymbol{\omega}}}\right).$

ここで