相加平均≧相乗平均≧調和平均の図形的証明

2変数の場合です。

「相加平均≧相乗平均」の円を使った証明はよく知られています。例えば、

「相加相乗平均の関係」を視覚的に理解する！

を参照されたいです。

さて、楕円を持ち出すことで「相加平均≧相乗平均≧調和平均」が図形的に証明できることを、先日偶然発見しました。

ここで

算術平均(相加平均)：
幾何平均(相乗平均)：
調和平均：

となります。証明は、読者の演習問題とします。