eの表示 - ゆまるの数学日記

今日，twitterで以下の等式を見つけた．

$\displaystyle e = \frac{2 \cdot 2^{\left( \ln 2 - 1 \right)^2} \cdot \cdots}{2^{\ln 2 - 1} \cdot 2^{\left( \ln 2 - 1 \right)^3} \cdot \cdots}.$

元ツイートには割と自明な等式と書かれており，自明な等式に思えなかった私は自分を恥じた．

最初，メルカトル級数と関係あるのか？？と思い路頭に迷っていたが，10分ほどして割とあっさりと証明を与えられた（やったぜ．）．

この等式を一般化た次の等式が成り立つ．

$0 < a < b < 1$ のとき，または $1 < b < a$ のとき，

$\displaystyle a = \frac{b \cdot b^{\left( \log_a b - 1 \right)^2} \cdot \cdots}{b^{\log_a b - 1} \cdot b^{\left( \log_a b - 1 \right)^3} \cdot \cdots}.$

証明は自明らしいので省略します．