世界一受けたくない大学入試数学【1995年京大文系後期】

昨年度（2019年）のセンター英語リスニング第一問に戸惑った受験生も少なくなかっただろう．今後の大学入試では，試験中に想定外のことが起きても，冷静に問題と向き合い解答する力を求めてくるかもしれない（知らんけど）．

次の問題は，1995年の京都大学文系後期の問題である．強調したい部分をを太字にした．

問題: 自然数 $n$ の関数 $f(n),\, g(n)$ を

$f(n) = n$ を $7$ で割った余り，

$\displaystyle g(n) = 3 f \left( \sum_{k=1}^7 k^n \right)$

によって定める．

（１）すべての自然数 $n$ に対して $f(n^7) = f(n)$ を示せ．

（２）あなたの好きな自然数 $n$ を1つ決めて $g(n)$ を求めよ．その $g(n)$ の値をこの設問（２）におけるあなたの得点とする．

(1995年京都大学文系後期)

甚だ迷惑な問題文である．素直に『 $g(n)$ の最大値を求めよ』という問題でよいではないか．もしかすると，「もしも $g(n)$ の最大値を求められなくても，我々に点数を与えてくださるなんて，京大様は慈悲深い！！」と思う人もいるかもしれない．しかし実はこの問題，最大値を与える $n$ 以外では $g(n) = 0$ だ．無慈悲である*1．

ところで，冷静に考えればこの問題はさほど難しくない． $f(n)$ の最大値は明らかに $6$ であるから， $g(n)$ の最大値は $18$ ではないかという予想が立つ．この値は設問（２）の得点としても妥当だ．

解答

（１）以下，合同式は $7$ を法とする．示すべき等式は， $n^7 \equiv n$ に等しい*2．何にも考えずにやるなら， $n \equiv 0, 1, 2, \cdots, 6$ と場合分けする．あるいは

$\begin{align} n^7 - n &= n(n^6 - 1) = n(n^3 +1)(n^3 - 1) \\ &= n(n+1)(n^2 - n + 1)(n - 1)(n^2 + n + 1) = n \left( n + 1 \right) \left\{ \left( n - 3 \right) \left( n + 2 \right) + 7 \right\} \left( n - 1 \right) \left\{ \left( n + 3 \right) \left( n - 2 \right) + 7 \right\} \\ &= (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3) + \left( \text{7の倍数} \right) \end{align}$

と式変形して，連続7数の積が $7$ の倍数であることからも示せる．

（２） $\displaystyle k^n \equiv f \left( k^n \right)$ より $\displaystyle \sum_{k=1}^7 k^n \equiv \sum_{k=1}^7 f \left( k^n \right)$

$\displaystyle \therefore f \left( \sum_{k=1}^7 k^n \right) = f \left( \sum_{k=1}^7 f \left( k^n \right) \right) = f \left( 1 + f \left( 2^n \right) + f \left( 3^n \right) + \cdots + f \left( 6^n \right) \right)$