大学入試問題研究2018～整数～

2018年難関大学入試の整数問題を集めました．

解答解説は随時更新します．

問題: 正の整数 の各位の数の和を で表す．たとえば

である．

（１） のとき，不等式 を示せ．

（２） を満たす を求めよ．

（18　一橋大学前期 第1問）

問題: 整数 は等式

を満たしているとする．

（１） はともに正となることを示せ．

（２） ならば， は偶数であることを示せ．

（３）上式(1)を満たす整数の組 をすべてあげよ．

（18　東北大学理系前期 第3問）

問題: 数字の が書かれたカードが 枚，同様に，数字の [0,\ 1,\ 8] が書かれたカードがそれぞれ 枚，あわせて 枚のカードがある．これらから 枚を取り出し，横一列に並べてできる自然数を とする．ただし， のカードが左から 枚またな 枚現れる場合は， は 桁または 桁の自然数とそれぞれ考える．例えば，左から順に の数字のカードが並ぶ場合の は である．

（１） は整数とする． が の倍数になることと が の倍数になることは同値であることを示せ．

（２） が の倍数である確率を求めよ．

（３） が偶数であったとき， が の倍数である確率を求めよ．

（18　北海道大学理系前期 第3問）

問題: 数列 を で定める．

（１） とする． を既約分数 として表したときの分母 と分子 を求めよ．

（２） が整数となる をすべて求めよ．

（18　東京大学理科 第2問）