2018-08-06

Legendreの公式

Legendreの公式（Legendreの定理）*1は，数論の基本的な公式（定理）です．チェビシェフの定理（ $n$ と $2n$ の間に素数が存在する）などの証明でも登場するような公式ですので，高校生でも覚えておくといろいろ得をすると思われます．

Legendreの公式

自然数 $n$ に対して， $n$ に含まれる素因数 $p$ の個数（ $n$ を素因数分解したときの $p$ の累乗指数）を $\mathrm{ord}_p(n)$ とすれば，

$\displaystyle \mathrm{ord}_p(n!) = \sum_{i=1}^{\infty} \left[ \frac{n}{p^i} \right] = \sum_{i=1}^{[\log_{p}n]} \left[ \frac{n}{p^i} \right]$

が成り立つ．ここで $[ x ]$ は $x$ を超えない最大の整数を表すものとする．

*1:「Polignacの公式」としても知られているが，Legendreの方が先にこの公式を得ていたとされている．

2018-08-04

無理数の無理数乗について

実数

無理数の無理数乗は無理数かという問題は非常に面白いです．詳細については，tsujimotterさんのブログ
tsujimotter.hatenablog.com
にて詳しく解説されています．

この記事では無理数の無理数乗に関する入試問題を見ていきます．

問題

(1) $\log_{3}4$ は無理数であることを証明せよ．

(2) $a, b$ は無理数で， $a^b$ が有理数であるような数の組 $a, b$ を一組求めよ．

('61 大阪大学理系)

2018-05-31

君は本当にロピタルの定理を知っているか？

解析学ロピタルの定理

ギヨーム・ド・ロピタル (Guillaume de l'Hôpital) は17世紀後半のフランスの数学者です。
次の定理は、ロピタルが、1696年に出版した自身の微積分の教科書 "Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes" に載せたものです*1。

定理 (L'Hôpital's rule):

$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f(x) }{ g(x) }$ が不定形 $\displaystyle \frac{0}{0}$ 、 $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$ 、 $\displaystyle - \frac{\infty}{\infty}$ のいずれかになるとき、 $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f'(x) }{ g'(x) } = \alpha$ ならば、 $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f(x) }{ g(x) } = \alpha$ である。このとき $a, \alpha$ は実数または $\infty, - \infty$ である。

*1:実際にこの定理を証明したのは Johann Bernoulli (ヨハンベルヌーイ) であることが知られている。当時ベルヌーイは金銭を受け取る代わりに、ロピタルだけに自分の証明した定理を教えていたそうだ。

2018-05-25

区分求積の証明

区分求積

皆さんは区分求積法を知っているでしょうか。

定理(区分求積の公式)*1:

$f(x)$ を $[0,1]$ 上連続関数とする。

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n} f \left( \frac{k}{n} \right) = \int_0^1 f(x) dx$

が成り立つ。

*1:区分求積の一般形 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{b-a}{n} f \left(a+ \frac{k}{n} (b-a) \right) = \int_a^b f(x) dx$ があるが、あまり使わないのでこの記事では扱わない。

ゆまるの数学日記

元通信制高校生の数学ノート

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区分求積の証明