2019-07-09

世界一受けたくない大学入試数学【1995年京大文系後期】

大学入試

昨年度（2019年）のセンター英語リスニング第一問に戸惑った受験生も少なくなかっただろう．今後の大学入試では，試験中に想定外のことが起きても，冷静に問題と向き合い解答する力を求めてくるかもしれない（知らんけど）．

次の問題は，1995年の京都大学文系後期の問題である．強調したい部分をを太字にした．

問題: 自然数 $n$ の関数 $f(n),\, g(n)$ を

$f(n) = n$ を $7$ で割った余り，

$\displaystyle g(n) = 3 f \left( \sum_{k=1}^7 k^n \right)$

によって定める．

（１）すべての自然数 $n$ に対して $f(n^7) = f(n)$ を示せ．

（２）あなたの好きな自然数 $n$ を1つ決めて $g(n)$ を求めよ．その $g(n)$ の値をこの設問（２）におけるあなたの得点とする．

(1995年京都大学文系後期)

甚だ迷惑な問題文である．素直に『 $g(n)$ の最大値を求めよ』という問題でよいではないか．もしかすると，「もしも $g(n)$ の最大値を求められなくても，我々に点数を与えてくださるなんて，京大様は慈悲深い！！」と思う人もいるかもしれない．しかし実はこの問題，最大値を与える $n$ 以外では $g(n) = 0$ だ．無慈悲である*1．

ところで，冷静に考えればこの問題はさほど難しくない． $f(n)$ の最大値は明らかに $6$ であるから， $g(n)$ の最大値は $18$ ではないかという予想が立つ．この値は設問（２）の得点としても妥当だ．

解答

（１）以下，合同式は $7$ を法とする．示すべき等式は， $n^7 \equiv n$ に等しい*2．何にも考えずにやるなら， $n \equiv 0, 1, 2, \cdots, 6$ と場合分けする．あるいは

$\begin{align} n^7 - n &= n(n^6 - 1) = n(n^3 +1)(n^3 - 1) \\ &= n(n+1)(n^2 - n + 1)(n - 1)(n^2 + n + 1) = n \left( n + 1 \right) \left\{ \left( n - 3 \right) \left( n + 2 \right) + 7 \right\} \left( n - 1 \right) \left\{ \left( n + 3 \right) \left( n - 2 \right) + 7 \right\} \\ &= (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3) + \left( \text{7の倍数} \right) \end{align}$

と式変形して，連続7数の積が $7$ の倍数であることからも示せる．

（２） $\displaystyle k^n \equiv f \left( k^n \right)$ より $\displaystyle \sum_{k=1}^7 k^n \equiv \sum_{k=1}^7 f \left( k^n \right)$

$\displaystyle \therefore f \left( \sum_{k=1}^7 k^n \right) = f \left( \sum_{k=1}^7 f \left( k^n \right) \right) = f \left( 1 + f \left( 2^n \right) + f \left( 3^n \right) + \cdots + f \left( 6^n \right) \right)$

これと（１）より $n = 1, 2, \cdots , 6$ を調べれば十分である．順々に計算をしていけば $n = 6, (13, 20, \cdots)$ で最大値 $g(6) = 18$ を取ることがわかる．

固い文体で書いてみました．（２）の最後は愚直に計算をする以外にいい方法が見つかりませんでした．

*1:しいて言うならば，論証の手間(?)が省けて，時間短縮になる．やったね！

*2:フェルマーの小定理の $p = 7$ の場合である．

2019-03-21

eが無理数であることの証明【1997年阪大理系後期】

大学入試

直接問題文には登場しませんが， $e$ (勿論自然対数の底)が無理数であることが，この問題の背景となっている事実だと思います．

問題: 自然数 $n$ に対して関数 $f_n(x) = x^n e^{1-x}$ とその定積分 $\displaystyle a_n = \int_0^1 f_n(x) dx$ を考える．次の問いに答えよ．

（１）区間 $0 \leq x \leq 1$ 上で $0 \leq f_n(x) \leq 1$ であることを示し，さらに $0 < a_n < 1$ が成り立つことを示せ．

（２） $a_1$ を求めよ． $n > 1$ に対して $a_n$ と $a_{n-1}$ の間の漸化式を求めよ．

（３）自然数 $n$ に対して等式 $\displaystyle \frac{a_n}{n!} = e - \left( 1 + \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \cdots + \frac{1}{n!} \right)$ が成り立つことを証明せよ．

（４）いかなる自然数 $n$ に対しても， $n! e$ は整数とならないことを示せ．

(1997年大阪大学理系後期)

さほど難しくない(正解したい)問題ですので，20分を目安に解答してみてください．また， $e$ が無理数であることも併せて証明しましょう．以下，簡単に解答を紹介します．

略解

（１） $0 < x < 1$ で $f_n'(x) > 0$ なので， $f_n(0) = 0,\, f_n(1) = 1$ より $0 \leq f_n(x) \leq 1$ である．また，等式は常には成り立たないから， $0 < a_n < 1$ ．

（２）部分積分法より $a_1 = e- 2,\, a_n = n a_{n-1} - 1$ ．

（３）（２）の式を $n!$ で割ると， $\displaystyle \frac{a_n}{n!} - \frac{a_{n-1}}{(n-1)!} = - \frac{1}{n!}$ ．両辺 $n = 2, 3, \cdots , m$ で足し合わせて，題意の式を得る（ $n = 1$ でも成り立つ）．

（４）（３）の式を $n!$ 倍した式と $0 < a_n < 1$ より明らかである．

さて，ここで $e$ が有理数であると仮定をすると， $e > 0$ より，とある互いに素な自然数 $n, m$ が存在し， $\displaystyle e = \frac{m}{n}$ と書けますが， $n!e$ が整数となり矛盾します．よって $e$ が無理数であることが証明されました．

また，本題とは離れますが，（３）の式で $n \to \infty$ の極限をとると，

$\displaystyle e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \cdots \cdots$

が得られます．

2019-02-03

大学入試問題研究2018～整数～

入試問題研究

2018年難関大学入試の整数問題を集めました．

解答解説は随時更新します．

問題: 正の整数 $n$ の各位の数の和を $S(n)$ で表す．たとえば

$S(3) = 3,\ S(10) = 1 + 0 = 1,\ S(516) = 5 + 1 + 6 = 12$

である．

（１） $n \geq 10000$ のとき，不等式 $n > 30 S(n) + 2018$ を示せ．

（２） $n = 30 S(n) + 2018$ を満たす $n$ を求めよ．

（18　一橋大学前期第1問）

問題: 整数 $a,\ b$ は等式

$3^a - 2^b = 1 \tag{1}$

を満たしているとする．

（１） $a,\ b$ はともに正となることを示せ．

（２） $b > 1$ ならば， $a$ は偶数であることを示せ．

（３）上式(1)を満たす整数の組 $(a,\ b)$ をすべてあげよ．

（18　東北大学理系前期第3問）

問題: 数字の $2$ が書かれたカードが $2$ 枚，同様に，数字の [0,\ 1,\ 8] が書かれたカードがそれぞれ $2$ 枚，あわせて $8$ 枚のカードがある．これらから $4$ 枚を取り出し，横一列に並べてできる自然数を $n$ とする．ただし， $0$ のカードが左から $1$ 枚またな $2$ 枚現れる場合は， $n$ は $3$ 桁または $2$ 桁の自然数とそれぞれ考える．例えば，左から順に $0,\ 0,\ 1,\ 1$ の数字のカードが並ぶ場合の $n$ は $11$ である．